Simulink 기초 (3) 2차 시스템 모델링 : 진동-감쇠 시스템, 시뮬레이션 설정

이번엔 2차 미분방정식의 대표적인 형태인 진동-감쇠 시스템을 다뤄보자. 진동 문제의 자유물체도는 다음과 같다.

뉴턴의 법칙에 따라 미분방정식은 다음과 같다.

\[m \ddot{x}+b\dot{x}+kx=0\]

\(m=10kg, b=5kg\cdot m, k=20kg\cdot m^2\)라 하고 초기조건을 \(x(0)=0.1m, \dot{x}(0)=0m/s\)라 하자.

 

미분방정식의 가장 높은 차수(2차미분)를 왼쪽에 두고 나머지 부분을 오른쪽으로 넘겨보자.

\[m \ddot{x}=-b\dot{x}-kx\]

이는 오른쪽에 있는 두 신호의 합이 왼쪽의 신호가 되는 것을 의미한다.

 

 

 

 

이제 simulink를 이용하여 시스템을 모델링해보자.

 

이번에는 m을 gain블록을 이용하여 표현한다(이유는 나중에 나온다), gain 블록은 라이브러리 - Math Operations - gain 블록을 추가하여 얻을 수 있다. gain 블록은 입력 신호를 받아 gain 블록의 계수만큼 곱하여 출력을 한다.

 

gain 블록을 추가하고 블록을 더블클릭하여 이득을 1/10으로 설정한다. 여기서 이득을 1/10으로 설정하는 이유는 오른쪽의 신호를 받아 합치면 \(10 \ddot{x}\)이 되기 때문이다.

이때 gain 블록의 모양이 -K- 모양이 나오는 경우가 있는는데 블록의 크기를 키우면 해결된다.

 

 

 

 

gain 블록의 출력 신호는 x2dot을 의미하므로 적분하면 xdot이 나오고 또 적분하면 x가 나올 것이다. 적분기 둘을 추가하고, 신호의 이름을 달아보자.

블록을 추가하는 다른 방법으로는 work space에 블록의 이름을 입력하여 바로 추가할 수 있다. 다음 그림은 이 방법을 이용하여 Integrator 블록을 추가한 예이다.

 

 

 

신호의 이름은 신호를 더블클릭하여 작성할 수 있다.

첫번째 적분기의 출력을 xdot, 두번째 적분기의 출력을 x로 설정해보자.

첫번째 적분기

 

두번째 적분기

 

앞에서 설정한 xdot과 x에 대한 초기조건을 적용해보자.

첫번째 적분기에 초기조건 0을 대입하고 두번째 적분기에 초기조건 0.1을 대입한다. 

( 왜냐하면 \(\dot{x}(0)=0, x(0)=0.1\)이기 때문이다 )

 

 

오른쪽 항의 신호 \(b\dot{x},kx\)를 표현할 때는 앞에서 작성한 xdot 신호와 x 신호에 각각 b와 k를 곱하여 얻을 수 있다.

먼저 xdot 신호와 x신호의 분기점을 생성해보자. Ctrl을 누른 채로 원하는 신호에 마우스를 클릭하여 드래그 하면 분기된 신호를 얻을 수 있다.

 

 

 

gain 블록을 추가하고 나면 입력 포트가 반대쪽에 있어 연결하는데 가시성이 떨어질 수 있다. 그래서 gain 블록 우클릭 후 - 형식 - 블록반전을 누르면 입력포트가 반대쪽으로 정렬된다.

이 외에도 시계방향 회전이나 반시계 방향 회전이 있으니 참고하자.

 

 

 

그 다음 xdot 신호와 연결된 gain 블록의 이득은 5, x신호에 연결된 gain 블록의 이득을 20으로 설정하면 다음과 같다.

 

 

 

 

이제 이 둘의 신호를 합하기 위해 sum 블록을 사용해 볼 것이다. sum 블록은 여러개의 신호를 입력으로 받아 합하거나 빼서 출력 신호를 생성한다.

 

 

 

 

이 블록은 왼쪽과 아래쪽으로 신호를 받아서 더하고 오른쪽으로 출력하는 의미를 가진다. 이 블록을 더블클릭하면 부호목록이라는 입력 값이 있는데 | 은 \와 shift 를 눌러 쓸수 있고, 포트 공간을 만들때 사용한다.

예를들어 |+|+이면 위에서부터 시계반대방향으로 빈칸 / + / 빈칸 / + 를 의미한다.

 

 

 

+,-는 +는 신호를 더하고 -는 신호를 뺸다는 뜻이다.

먼저 |++로 입력하고 반시계 방향 회전을 이용해서 두 신호를 합해본다. 결과는 다음과 같다.

 

 

 

sum 블록으로 부터 나온 신호의 부호를 바꾸고 1/10을 곱하면 \(\ddot{x}\)을 만들어내는 것을 알 수 있다. 따라서 gain 블록의 이득 값을 -1/10으로 바꿔주고 sum 블록의 출력과 연결한다.

 

 

이제 결과를 확인하기 위해 Scope 블록을 추가한다. Scope 블록은 x 신호를 입력으로 받으므로 변위-시간 그래프가 나올 것이다.

 

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* 한편, 이러한 블록선도의 형태는 제어 가능 표준형(Controllable Canonical Form)이라 한다. 제어 가능 표준형에 대해 공부하면 임의의 전달함수를 가진 시스템을 모델링하는데 도움이 될 것이다. 이 부분은 제어공학에서 따로 다루도록 하겠다.

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결과를 확인하기 전에 간단하게 시뮬레이션을 설정해보자. 10초동안의 응답을 보기 위해 시뮬레이션 탭에 중지시간을 10으로 변경한다.

 

 

 

 

Simulink에서 미분방정식을 풀때는 수치해석 방법을 이용하여 해를 구한다. 따라서 수치해석 방법과 step size를 설정해야 할 필요가 있다.

먼저 모델링 탭 - 모델설정 을 들어가면 시뮬레이션 시간과 솔버선택이 있다. 솔버 선택에서 가변스텝을 고정스텝으로 변경하고,  ode4(Rounge Kutta method)를 선택한다(Rounge Kutta method가 가장 많이 쓰이는 수치해석 방법이다)

그리고 솔버 세부 정보를 클릭하면 고정스템크기를 찾을 수 있는데 이를 0.0001초로 변경한다.

 

 

 

이제 Scope를 열고 실행 버튼을 누르면 결과가 출력된다.

 

 

 

 

진동 감쇠 시스템의 응답이 잘 표현된 것을 알 수 있다. 여기서 step size를 늘려보자.

모델- 모델 설정-고정 스템 사이즈를 0.5로 설정한다.

그러면 이렇게 그래프가 부드럽지 않은 것을 알 수 있고 Error가 생길 수도 있다. 따라서 step size는 상황에 맞게 잘 설정해야한다.